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Wenn man n-mal virtuell eine Münze wirft, so ist das Ergebnis eines jeden Wurfs eine Zufallsvariable X_i (i = 1, 2, .., n) mit den Realisationen Werten „1: = Zahl“ und „0: = Kopf“. Jeder einzelne Münzwurf lässt sich also durch eine Zufallsvariable X_i mit nur zwei möglichen Ausgängen charakterisieren (sog. Bernoulli-Verteilung). Diese hat den Erwartungswert E(X_i) = p und die Varianz V(X_i) = p∙(1-p) mit 0 < p < 1, bei Annahme einer fairen Münze (p = 0,5) also E(X_i) = 0,5 und V(X_i) = 0,25. 

Interessiert man sich für die Anzahl Y_n der bei einer Wurfserie mit fairer Münze auftretenden Ausgänge mit „Zahl“, so ist die Summe Y_n = X₁ + X₂ + ... X_n der Ausgänge mit „1“ binomialverteilt mit Parametern n und p = 0,5. Für n wird der feste Wert n = 25 gewählt. Der Erwartungswert der Zufalls-variablen Y₂₅ ist durch E(Y₂₅) = n ∙ p = 12,5 gegeben, die Varianz durch V(Y₂₅) = n ∙ p ∙ (1 - p) = 6,75.

Bei Aufruf des Elements sehen Sie ein Säulendiagramm, das die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n = 25 und p = 0,5 zeigt. Die Wahrscheinlichkeitsfunktion spezifiziert hier die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die theoretisch möglichen Realisationen 0, 1, 2, ..., 25 der Zufallsvariablen Y₂₅ (Häufigkeit des Auftretens von „Zahl“ beim 25-fachen fairen Münzwurf).   

Sobald Sie auf „Start“ klicken, werden k = 100 Münzwurfserien mit je 25 Würfen ausgeführt. Für jede Wurfserie wird die Ausprägung der Zufallsvariablen Y₂₅ bestimmt und über alle k Serien kumuliert in einer Tabelle neben der Grafik festgehalten. Die Tabelle weist also aus, wie oft insgesamt bei den k Serien für Y₂₅ die Realisationen 0, 1, …, 25 auftraten. Aus den in der Tabelle ausgewiesenen absoluten Häufigkeiten ergeben sich nach Division durch k relative Häufigkeiten für die genannten Realisationen. Diese werden ebenfalls als Säulendiagramm dargestellt (rot: experimentell gewonnene Werte, dunkelgrau: theoretische Werte laut Wahrscheinlichkeitsfunktion). Das Säulendiagramm in rot wird tendenziell der dunkelgrauen Grafik umso ähnlicher, je größer k ist. Wiederholen Sie das Experiment mit unverändertem Wert k = 100, bevor Sie es auch mit einem größeren Wert für k ausführen. 

Bei Aktivierung von „Normalapproximation“ wird die Dichte einer Normalverteilung eingeblendet, die das dunkelgraue Säulendiagramm (Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung mit n = 25 und p = 0,5) gut approximiert. Der Erwartungswert dieser approximierenden Normalverteilung ist durch µ = E(Y₂₅) = 12,5 gegeben, ihre Varianz durch σ² = V(Y₂₅) = 6,75.

Das Experiment illustriert zum einen, dass sich die Ergebnisse wiederholt durchgeführter Münzwurfserien durch eine Binomialverteilung modellieren lassen, wobei der empirische Befund mit steigender Zahl k der Replikationen tendenziell immer besser durch das Modell beschrieben wird. wird. Zum anderen wird gezeigt, dass sich die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit gleichem Erwartungswert und gleicher Varianz approximieren lässt (sog. Normalapproximation der Binomialverteilung).