Zweiseitiger Binomialtest; α = 0,05
Test von H0: p = 0,5 gegen H1: p ≠ 0,5
Testgröße: mit Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X
Annahmebereich für H0 im Falle n = 20: [6;14]
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) der Binomialverteilung (n = 20)
x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7
0	0,0008	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1	0,0068	0,0005	0,0000	0,0000	0,0000
2	0,0278	0,0031	0,0002	0,0000	0,0000
3	0,0716	0,0123	0,0011	0,0000	0,0000
4	0,1304	0,0350	0,0046	0,0003	0,0000
5	0,1789	0,0746	0,0148	0,0013	0,0000
6	0,1916	0,1244	0,0370	0,0049	0,0002
7	0,1643	0,1659	0,0739	0,0146	0,0010
8	0,1144	0,1797	0,1201	0,0355	0,0039
9	0,0654	0,1597	0,1602	0,0710	0,0120
10	0,0308	0,1171	0,1762	0,1171	0,0308
11	0,0120	0,0710	0,1602	0,1597	0,0654
12	0,0039	0,0355	0,1201	0,1797	0,1144
13	0,0010	0,0146	0,0739	0,1659	0,1643
14	0,0002	0,0049	0,0370	0,1244	0,1916
15	0,0000	0,0013	0,0148	0,0746	0,1789
16	0,0000	0,0003	0,0046	0,0350	0,1304
17	0,0000	0,0000	0,0011	0,0123	0,0716
18	0,0000	0,0000	0,0002	0,0031	0,0278
19	0,0000	0,0000	0,0000	0,0005	0,0068
20	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0008
Summe der farbig markierten Funktionswerte:
	0,5836	0,8728	0,0414	0,8728	0,5836
	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 1. Art)	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 2. Art)

Zweiseitiger Binomialtest; α = 0,05
Test von H0: p = 0,5 gegen H1: p ≠ 0,5
Testgröße: mit Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X
Annahmebereich für H0 im Falle n = 30: [10;20]
Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) der Binomialverteilung (n = 30)
x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7
0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
2	0,0018	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
3	0,0072	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000
4	0,0208	0,0012	0,0000	0,0000	0,0000
5	0,0464	0,0041	0,0001	0,0000	0,0000
6	0,0829	0,0115	0,0006	0,0000	0,0000
7	0,1219	0,0263	0,0019	0,0000	0,0000
8	0,1501	0,0505	0,0055	0,0002	0,0000
9	0,1573	0,0823	0,0133	0,0006	0,0000
10	0,1416	0,1152	0,0280	0,0020	0,0000
11	0,1103	0,1396	0,0509	0,0054	0,0001
12	0,0749	0,1474	0,0806	0,0129	0,0005
13	0,0444	0,1360	0,1115	0,0269	0,0015
14	0,0231	0,1101	0,1354	0,0489	0,0042
15	0,0106	0,0783	0,1445	0,0783	0,0106
16	0,0042	0,0489	0,1354	0,1101	0,0231
17	0,0015	0,0269	0,1115	0,1360	0,0444
18	0,0005	0,0129	0,0806	0,1474	0,0749
19	0,0001	0,0054	0,0509	0,1396	0,1103
20	0,0000	0,0020	0,0280	0,1152	0,1416
21	0,0000	0,0006	0,0133	0,0823	0,1573
22	0,0000	0,0002	0,0055	0,0505	0,1501
23	0,0000	0,0000	0,0019	0,0263	0,1219
24	0,0000	0,0000	0,0006	0,0115	0,0829
25	0,0000	0,0000	0,0001	0,0041	0,0464
26	0,0000	0,0000	0,0000	0,0012	0,0208
27	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003	0,0072
28	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0018
29	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003
30	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
Summe der farbig markierten Funktionswerte:
	0,4112	0,8227	0,0428	0,8227	0,4112
	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 1. Art)	P(Fehler 2. Art)	P(Fehler 2. Art)

Hilfe

Hilfetext: Wenn man ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen A₁ (Eintrittswahrscheinlichkeit p) und A₂ (Eintrittswahrscheinlichkeit 1 - p) n-mal durchführt und die Anzahl X der Ausgänge mit A₁ zählt, so ist die Zählvariable X binomialverteilt mit Parametern n und p. Schreibweise: X ~ B(n;p). Sie kann nur ganzzahlige Werte von 0, 1, ..., n annehmen. Der Wert 0 (bzw. n) bedeutet, dass bei den n Durchgängen kein Mal (bzw. jedes Mal) der Ausgang A₁ beobachtet wurde.

Ein Binomialtest ist ein Test mit binomialverteilter Testgröße X. Beim zweiseitigen Binomialtest wird die Nullhypothese H₀: p = p₀ gegen die Alternativhypothese H₁: p ≠ p₀ getestet. Für p₀ wird hier speziell p₀ = 0,5 gewählt. Diese Wahl ist z. B. beim Testen des Geschlechterverhältnisses in einer Population relevant oder beim mehrfachen Wurf einer Münze beim Test auf „Fairness“ der Münze.

Man verwirft H₀, d. h. man entscheidet sich für H1, wenn die Testgröße X außerhalb eines Intervalls A liegt. Das auch als Annahmebereich bezeichnete Intervall A ist dadurch definiert, dass X bei Gültigkeit von H₀ mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – α im Intervall A liegt. Dabei ist α ein vorgegebener, als Signifikanzniveau bezeichneter Wert. Bei Verwendung von α = 0,05 soll die Testgröße also lediglich mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 außerhalb von A liegen. Bei einem Test mit binomialverteilter Testvariablen lässt sich α allerdings nicht exakt einhalten. Vielmehr ist α hier nur eine Obergrenze, der man bei der Festlegung des Annahmebereichs A möglichst nahekommen will.

Es gibt zwei mögliche Testentscheidungen; jede kann richtig oder falsch sein. Die fälschliche Verwerfung der Nullhypothese H₀ wird als Fehler 1. Art bezeichnet, die fälsche Nicht-Verwerfung von H₀ als Fehler 2. Art:

Für den Parameter n der Binomialverteilung sind bei diesem Experiment n = 20 und n = 30 wählbar, für p Werte von 0,3 bis 0,7. Ein Fehler 1. Art kann offenbar nur für p = 0,5 auftreten (hier ist H₀ wahr), ein Fehler 2. Art nur im Falle p ≠ 0,5 (hier ist H₁ wahr).

Bei Aufruf des Experiments sehen Sie zunächst die Verteilung der binomialverteilten Zufallsvariablen X bei Gültigkeit von H0, also für p = 0,5. Die Wahrscheinlichkeiten P(X = 0), P(X = 1), …, P(X = n) der möglichen Ausprägungen von 0, 1, …, n von X definieren die sogenannte Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) von X. Das Stabdiagramm wird im Falle p = 0,5 anhand eines roten Stabdiagramms visualisiert. Die Funktionswerte f(x), die hier außerhalb des Annahmebereichs A liegen, sind durch kräftig rote Stäbe, die anderen durch Stäbe in hellerem Rot dargestellt. Unter der Grafik ist die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 1. Art wiedergegeben (Summe der in kräftigem Rot wiedergegebenen Werte).

Stellt man auf einen Wert p ≠ 0,5 um, ändert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Das Stab-diagramm ist nun blau dargestellt, wobei das Stabdiagramm für p = 0,5 zu Vergleichszwecken in hellem Rot weiterhin sichtbar bleibt. Bei dem blauen Stabdiagramm sind die Funktionswerte f(x), die innerhalb des Annahmebereichs A liegen, in kräftigem Blau, die anderen in hellerem Blau dargestellt. Unter der Grafik ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art wiedergegeben (Summe der in kräftigem Blau präsentierten Werte).

Bei der Bestimmung des Annahmebereichs A geht man beim zweiseitigen Binomialtest vom Stabdiagramm unter H₀ aus und schneidet am linken Rand so viele Stäbe ab, dass die Summe der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten dem Wert α/2 = 0,025 möglichst nahekommt, ihn aber nicht überschreitet. Analog verfährt man am rechten Rand. Die verbleibenden Stäbe definieren den Annahmebereich A. Die Testvariable X liegt somit unter der vorausgesetzten Gültigkeit von H0 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 innerhalb von A.

Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) sind auf 4 Dezimalstellen genau für alle wählbaren Werte n und p auch über den Button „Funktionswerte“ in Tabellenform zugänglich.