Einseitiger Binomialtest (α = 0,05)
			Testgröße:  mit Parametern n und p binomialverteilte Zufallsvariable X
Rechtsseitiger Fall:							Linksseitiger Fall:
Test von H0: p ≤ 0,5 gegen H1: p > 0,5							Test von H0: p ≥ 0,5 gegen H1: p < 0,5
		Annahmebereich und Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)  bei Wahl von n = 18
	Annahmebereich:     [0;12]							Annahmebereich:    [6;18]
	Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x)							Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x)
x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7		x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7
0	0,0016	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000		0	0,0016	0,0001	0,0000	0,0000	0,0000
1	0,0126	0,0012	0,0001	0,0000	0,0000		1	0,0126	0,0012	0,0001	0,0000	0,0000
2	0,0458	0,0069	0,0006	0,0000	0,0000		2	0,0458	0,0069	0,0006	0,0000	0,0000
3	0,1046	0,0246	0,0031	0,0002	0,0000		3	0,1046	0,0246	0,0031	0,0002	0,0000
4	0,1681	0,0614	0,0117	0,0011	0,0000		4	0,1681	0,0614	0,0117	0,0011	0,0000
5	0,2017	0,1146	0,0327	0,0045	0,0002		5	0,2017	0,1146	0,0327	0,0045	0,0002
6	0,1873	0,1655	0,0708	0,0145	0,0012		6	0,1873	0,1655	0,0708	0,0145	0,0012
7	0,1376	0,1892	0,1214	0,0374	0,0046		7	0,1376	0,1892	0,1214	0,0374	0,0046
8	0,0811	0,1734	0,1669	0,0771	0,0149		8	0,0811	0,1734	0,1669	0,0771	0,0149
9	0,0386	0,1284	0,1855	0,1284	0,0386		9	0,0386	0,1284	0,1855	0,1284	0,0386
10	0,0149	0,0771	0,1669	0,1734	0,0811		10	0,0149	0,0771	0,1669	0,1734	0,0811
11	0,0046	0,0374	0,1214	0,1892	0,1376		11	0,0046	0,0374	0,1214	0,1892	0,1376
12	0,0012	0,0145	0,0708	0,1655	0,1873		12	0,0012	0,0145	0,0708	0,1655	0,1873
13	0,0002	0,0045	0,0327	0,1146	0,2017		13	0,0002	0,0045	0,0327	0,1146	0,2017
14	0,0000	0,0011	0,0117	0,0614	0,1681		14	0,0000	0,0011	0,0117	0,0614	0,1681
15	0,0000	0,0002	0,0031	0,0246	0,1046		15	0,0000	0,0002	0,0031	0,0246	0,1046
16	0,0000	0,0000	0,0006	0,0069	0,0458		16	0,0000	0,0000	0,0006	0,0069	0,0458
17	0,0000	0,0000	0,0001	0,0012	0,0126		17	0,0000	0,0000	0,0001	0,0012	0,0126
18	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0016		18	0,0000	0,0000	0,0000	0,0001	0,0016
				Summe der farbig markierten Funktionswerte:
	0,0002	0,0058	0,0482	0,7913	0,4655			0,4655	0,7913	0,0482	0,0058	0,0002
		rot: P(Fehler 1. Art)			blau: P(Fehler 2. Art)				blau: P(Fehler 2. Art)		rot: P(Fehler 1. Art)
		Annahmebereich und Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x)  bei Wahl von n = 30
	Annahmebereich:     [0;19]							Annahmebereich:    [11;30]
	Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x)							Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x)
x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7		x	p = 0,3	p = 0,4	p = 0,5	p = 0,6	p = 0,7
0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000		0	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
1	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000		1	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
2	0,0018	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000		2	0,0018	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
3	0,0072	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000		3	0,0072	0,0003	0,0000	0,0000	0,0000
4	0,0208	0,0012	0,0000	0,0000	0,0000		4	0,0208	0,0012	0,0000	0,0000	0,0000
5	0,0464	0,0041	0,0001	0,0000	0,0000		5	0,0464	0,0041	0,0001	0,0000	0,0000
6	0,0829	0,0115	0,0006	0,0000	0,0000		6	0,0829	0,0115	0,0006	0,0000	0,0000
7	0,1219	0,0263	0,0019	0,0000	0,0000		7	0,1219	0,0263	0,0019	0,0000	0,0000
8	0,1501	0,0505	0,0055	0,0002	0,0000		8	0,1501	0,0505	0,0055	0,0002	0,0000
9	0,1573	0,0823	0,0133	0,0006	0,0000		9	0,1573	0,0823	0,0133	0,0006	0,0000
10	0,1416	0,1152	0,0280	0,0020	0,0000		10	0,1416	0,1152	0,0280	0,0020	0,0000
11	0,1103	0,1396	0,0509	0,0054	0,0001		11	0,1103	0,1396	0,0509	0,0054	0,0001
12	0,0749	0,1474	0,0806	0,0129	0,0005		12	0,0749	0,1474	0,0806	0,0129	0,0005
13	0,0444	0,1360	0,1115	0,0269	0,0015		13	0,0444	0,1360	0,1115	0,0269	0,0015
14	0,0231	0,1101	0,1354	0,0489	0,0042		14	0,0231	0,1101	0,1354	0,0489	0,0042
15	0,0106	0,0783	0,1445	0,0783	0,0106		15	0,0106	0,0783	0,1445	0,0783	0,0106
16	0,0042	0,0489	0,1354	0,1101	0,0231		16	0,0042	0,0489	0,1354	0,1101	0,0231
17	0,0015	0,0269	0,1115	0,1360	0,0444		17	0,0015	0,0269	0,1115	0,1360	0,0444
18	0,0005	0,0129	0,0806	0,1474	0,0749		18	0,0005	0,0129	0,0806	0,1474	0,0749
19	0,0001	0,0054	0,0509	0,1396	0,1103		19	0,0001	0,0054	0,0509	0,1396	0,1103
20	0,0000	0,0020	0,0280	0,1152	0,1416		20	0,0000	0,0020	0,0280	0,1152	0,1416
21	0,0000	0,0006	0,0133	0,0823	0,1573		21	0,0000	0,0006	0,0133	0,0823	0,1573
22	0,0000	0,0002	0,0055	0,0505	0,1501		22	0,0000	0,0002	0,0055	0,0505	0,1501
23	0,0000	0,0000	0,0019	0,0263	0,1219		23	0,0000	0,0000	0,0019	0,0263	0,1219
24	0,0000	0,0000	0,0006	0,0115	0,0829		24	0,0000	0,0000	0,0006	0,0115	0,0829
25	0,0000	0,0000	0,0001	0,0041	0,0464		25	0,0000	0,0000	0,0001	0,0041	0,0464
26	0,0000	0,0000	0,0000	0,0012	0,0208		26	0,0000	0,0000	0,0000	0,0012	0,0208
27	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003	0,0072		27	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003	0,0072
28	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0018		28	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0018
29	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003		29	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0003
30	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000		30	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000	0,0000
	0,0000	0,0028	0,0494	0,7083	0,2696			0,2696	0,7083	0,0484	0,0028	0,0000
		rot: P(Fehler 1. Art)			blau: P(Fehler 2. Art)				blau: P(Fehler 2. Art)		rot: P(Fehler 1. Art)

Hilfe

Hilfetext: Wenn man ein Zufallsexperiment mit zwei möglichen Ausgängen A₁ (Eintrittswahrscheinlichkeit p) und A2 (Eintrittswahrscheinlichkeit 1 - p) n-mal durchführt und die Anzahl X der Ausgänge mit A₁ zählt, so ist die Zählvariable X binomialverteilt mit Parametern n und p. Schreibweise: X ~ B(n;p). Sie kann nur ganzzahlige Werte von 0, 1, ..., n annehmen. Der Wert 0 (bzw. n) bedeutet, dass bei den n Durchgängen kein Mal (bzw. jedes Mal) der Ausgang A₁ beobachtet wurde.

Ein Binomialtest ist ein Test mit binomialverteilter Testgröße X. Beim einseitigen Binomialtest wird entweder die Nullhypothese H0: p ≤ p0 gegen die Alternativhypothese H₁: p > p₀ getestet (rechtsseitiger Test) oder H₀: p ≥ p0 gegen H₁: p < p₀ (linksseitiger Test). Für p₀ wird hier speziell p0 = 0,5 gewählt.

Man verwirft H₀, d. h. man entscheidet sich für H1, wenn die Testgröße X außerhalb eines Intervalls A liegt. Das auch als Annahmebereich bezeichnete Intervall A ist dadurch definiert, dass X am Rande des Gültigkeitsbereichs von H0, hier also im Falle p = 0,5, mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 – α in A liegt. Dabei ist α ein vorgegebener Wert, den man Signifikanzniveau des Tests nennt. Bei Verwendung von α = 0,05 soll die Testgröße also mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,05 außerhalb von A liegen. Bei einem Test mit binomialverteilter Testvariablen lässt sich α allerdings nicht exakt einhalten. Vielmehr ist α hier nur eine Obergrenze, der man bei der Festlegung des Annahmebereichs A möglichst nahekommen will.

Es gibt zwei mögliche Testentscheidungen; jede kann richtig oder falsch sein. Die fälschliche Verwerfung der Nullhypothese H₀ wird als Fehler 1. Art bezeichnet, die fälschliche Nicht-Verwerfung von H₀ als Fehler 2. Art:

Für den Parameter n der Binomialverteilung sind bei diesem Experiment n = 18 und n = 30 wählbar, für p Werte von 0,3 bis 0,7. Ein Fehler 1. Art kann dann beim rechtsseitigen Binomialtest offenbar nur für p = 0,5, p = 0,4 und p = 0,3 auftreten (hier ist H₀ wahr), ein Fehler 2. Art im Falle p = 0,6 und p = 0,7 (hier ist H₁ wahr). Eine analoge Aussage gilt für den linksseitigen Test.

Bei Aufruf des Experiments sehen Sie zunächst die Verteilung der binomialverteilten Zufallsvariablen X am Rande des Bereichs, in dem H0, gilt, also für p = 0,5. Die Wahrscheinlichkeiten P(X = 0), P(X = 1), …, P(X = n) der möglichen Ausprägungen von 0, 1, …, n von X definieren die sogenannte Wahr-scheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) von X. Das Stabdiagramm wird im Falle p = 0,5 anhand eines roten Stabdiagramms visualisiert. Die Funktionswerte f(x), die hier außerhalb des Annahmebereichs A liegen, sind durch kräftig rote Stäbe, die anderen durch Stäbe in hellerem Rot dargestellt. Unter der Grafik ist die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 1. Art wiedergegeben (Summe der in kräftigem Rot wiedergegebenen Werte).

Stellt man auf einen Wert p ≠ 0,5 um, ändert sich die Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x). Das Stabdiagramm ist weiterhin rot (Stäbe außerhalb von A kräftig rot, die übrigen hellrot), wenn der neu eingestellte Wert p noch zum Gültigkeitsbereich von H₀ gehört. Unter der Grafik ist nach wie vor die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 1. Art wiedergegeben.

Ist hingegen ein Wert p eingestellt, bei dem H1 wahr ist, wird das Stabdiagramm blau dargestellt, wobei das Stabdiagramm für p = 0,5 zu Vergleichszwecken in hellem Rot weiterhin sichtbar bleibt. Bei dem blauen Stabdiagramm sind die Funktionswerte f(x), die innerhalb des Annahmebereichs A liegen, in kräftigem Blau, die anderen in hellerem Blau dargestellt. Unter der Grafik ist jetzt die Wahrscheinlichkeit für den Eintritt eines Fehlers 2. Art wiedergegeben (Summe der in kräftigem Blau präsentierten Werte).

Bei der Bestimmung des Annahmebereichs A geht man beim einseitigen Binomialtest vom Fall aus, in dem H0 gerade noch gilt, hier also vom Fall p = 0,5. Man schneidet beim rechtsseitigen Binomialtest vom Stabdiagramm für p = 0,5 am rechten Rand so viele Stäbe ab, dass die Summe der zugehörigen Wahrscheinlichkeiten dem Wert α = 0,05 möglichst nahekommt, ihn aber nicht überschreitet. Analog verfährt man beim linksseitigen Binomialtest. Die verbleibenden Stäbe definieren jeweils den Annahmebereich A. Die Testvariable X liegt dann im Falle p = 0,5 mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 innerhalb von A.

Alle Werte der Wahrscheinlichkeitsfunktion f(x) = P(X = x) sind auf 4 Dezimalstellen genau für alle wählbaren Werte n und p über den Button „Funktionswerte“ in Tabellenform zugänglich.